Question

排列组合，求证:C上标r+1下标n+1=C(上标r下标r)+C(上标r下标r+1)+...+C上标r下标n

Answer 1

.用组合数学的观点解释
等式右边的式子，相当于从n+1里面选取r+1的取法，那么我们如果把n+1分成n和1两部分，r+1也分成r和1两部分，那么取法有两种情况，一是r+1中的1不在n+1中的1中取，也就是r+1都在n中取，另一种就是r+1的1在n+1中的1中取，也就是只在n中取r。那么可以等于C（上标r+1，下标n）意思是r+1都在n中取得个数+C（上标r，下标n）意思是r在n中取的个数。再将C（上标r+1，下标n）像这样不断的分下去，便能得到左边式子。

追问

可以用代数证明吗？

可以用代数证明吗？

追答

只需要证得C上标r+1下标n+1=C上标r+1下标n + C上标r下标n 这个式子即可，然后不断运用这个式子 就可以得到左边的情况 这个式子你把组合数的定义写出来代进去一算就验证了

追问

这个公式是证出来了，就是再往下分就不会了。

追答

把C上标r+1下标n=C上标r+1下标n-1 + C上标r下标n-1
然后再分C上标r+1下标n-1=C上标r+1下标n-2 +C上标r下标n-2
就这么不断对分出来的第一个项用这个公式不断分 分到最后就有
C上标r+1下标r+2=C上标r+1下标r+1 +c上标r下标r+1
而C上标r+1下标r+1=C上标r下标r=1 所有整个式子就出来了

追问

恩，你这是从右边推左边依次分，倒推。