Question

如图,在Rt△ABC中,∠BCA是直角,E是AC上的一点,ED⊥AB于点D，BD=BC,CD,BE交于点F，求证：CD⊥BE

Answer 1

证明
∵∠ACB=90°
DE⊥AB
∴△BCE和△BDE是直角三角形
在Rt△BCE和Rt△BDE中
∵BE=BE,BC=BD
∴Rt△BCE≌Rt△BDE
∴CE=DE
∠DBE=∠CBE
即∠DBF=∠CBF
∵BD=BC
∴△BCD是等腰三角形
∴BF⊥CD且平分CD(等腰三角形底角的平分线、底边上的高，中线三线合一）
∴BE垂直平分CD
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Answer 2

因为角BCA是直角 所以角BCD+角ECD=90度 又因为 角EDB=90度 所以角BDC+角EDC=90度 又因为BD=BC 所以角BDC=角BCD 所以角ECD=角EDC 所以ED=EC 又因为 EB=EB BD=BC 所以三角形EDB全等于三角形ECB 所以角DEF=角CEF DE=CE EF=EF 所以三角形DFE全等于三角形CFE 所以DF=CF 因为三角形BCD是等腰三角形 所以点F是中点 垂足 角平分线 （三线合一） 所以BF垂直于CD 所以CD垂直EF