Question

初二数学题，回答后有悬赏。

在Rt△ABC中，矩形DEFG的边DE在AB上运动，点F、G分别在BC.AC上，线段DM.EN分别为△ADC和△BEF的角平分线，求证：MG=NF。

Answer 1

运用正弦定理即可

容易证明△ADG∽△FEB,∴∠DGM=∠EBN
∵∠GDM=∠BEN=45°
∴∠DMG=∠BNE
sinDMG=sinBNE=sin(180°-∠BNE)=sinENF
在△DGM中,有GM/sinGDM=DG/sinDMG
在△EFN中,有FN/sinFEN=EF/sinENF
∵sinGDM=sinFEN=sin45°,sinDMG=sinENF,DG=EF
∴GM=FN

Answer 2

解:过G作GP∥BC，过D作DP∥EN，GP、DP交于P点．在DM上截取DQ=DP，连接QG，则△GPD≌△FNE．
∴FN=GP，
∵∠GDQ=∠GDP=45°，
∴△GPD≌△GQD．
∴GQ=GP，∠GQD=∠GPD，
∵∠MGP=∠MDP=90°，
∴∠GMD ∠GPD=180°，
∵∠GQM ∠GQD=180°，
∴∠GMQ=∠GQM，
∴GM=GQ
∴MG=NF；（注：一个在校大学生的解答，请考虑）

Answer 3

（2）过G作GP∥BC，过D作DP∥EN，GP、DP交于P点．在DM上截取DQ=DP，连接QG，则△GPD≌△FNE．
∴FN=GP，
∵∠GDQ=∠GDP=45°，
∴△GPD≌△GQD．
∴GQ=GP，∠GQD=∠GPD，
∵∠MGP=∠MDP=90°，
∴∠GMD+∠GPD=180°，
∵∠GQM+∠GQD=180°，
∴∠GMQ=∠GQM，
∴GM=GQ
∴MG=NF；

Answer 4

解：
∵∠C=90°，矩形DEFG
∴∠CAB+∠B=90°,∠ADG=∠BEF=180°-90°=90°
∴∠DAG=∠EFB=90°-∠B,∠ADG=∠BEF
∴△ADG∽△BEF

设AD=a,AM=b,DG=ak.
∵∠ADM=∠GDM
∴AM/GM=AD/DG（用面积法，比定理更易于理解）
∴GM=bk.

∵EF=DG=ak,
又∵∠DAM=∠EFN,∠ADM=∠FEN=90°÷2=45°,
∴△ADM∽△FEN.
∴AD/AM=FE/FN
∴NF=bk.

∵GM=bk.
∴MG=NF.

Answer 5

1，作两斜线经矩形向外出三角形的交点。
2，以bc为中心线作镜像，即可得出结论。