Question

初二数学题，回答后有悬赏。

在Rt△ABC中，矩形DEFG的边DE在AB上运动，点F、G分别在BC.AC上，线段DM.EN分别为△ADC和△BEF的角平分线，求证：MG=NF。

Answer 1

过G作BC的平行线，过D作EN的平行线，两平行线交于P点，在DM上取一点Q，使GQ=GP，连接QG，则△GPD≌△FNE，
∴FN=GP，
∵∠GDQ=∠GDP=45°，
∴△GPD≌△GQD．
∴GQ=GP，∠GQD=∠GPD，
∵∠MGP=∠MDP=90°，
∴∠GMD+∠GPD=180°，
∵∠GQM+∠GQD=180°，
∴∠GMQ=∠GQM，
∴GM=GQ，
∴MG=NF；

Answer 2

解：
据题意：△ABC为RT△，∠C=90°
∴∠A+∠B=90°
又因为矩形DGFE
∴GD⊥AB
FE⊥AB
∴∠GDA=∠FEB=90°
∴∠B+∠EFB=90°
∴∠A=∠BEF
∴在△ADG与△FEB中
∠ADG=∠FEB
∠DGA=∠EBF
∠GAD=∠BFE
∴△ADG∽△FEB
AG与FB的比值一定
∴MG与NF的比值一定
但仅仅是相似，不一定是全等的
只有全等的时候在能相等
所以MG不一定等于NF
（注：一个初中生的解答，不一定正确，请慎重考虑）
祝好，再见

Answer 3

这道题用四点共圆的方法做比较简单。
连接 ME。易证 E,F,G,M四点共圆
角GMD=角FEN=45度，所以劣弧MG=劣弧FN （圆周角相等，对应劣弧相等，这里弧相等指的是圆心角，弧长都相等）。显然对应弦MG=NF (其实是2个全等的等腰三角形)

Answer 4

证明

设DG=EF=a
做CH⊥AB于H

在RtΔBEF中，根据角平分线定理
BN/NF=BE/EF
所以BF/NF=(BN+NF)/NF=(BE+EF)/EF

根据ΔABC∽ΔBEF
所以BE/EF=BC/AC
(BE+EF)/EF=(BC+AC)/AC

所以BF/NF=(BE+EF)/EF=(BC+AC)/AC
所以
NF=AC*BF/(BC+AC)

同理在RtΔADG中，重复上述过程，得到
MG=AG*BC/(AC+BC)

根据DG//CH//EF得到
AG/AC=DG/CH=a/CH
BF/BC=EF/CH=a/CH
所以AG/AC=BF/BC
所以AG*BC=AC*BF

所以MG=AG*BC/(AC+BC)=AC*BF/(BC+AC)=NF
所以MG=NF

得证。

满意请采纳，不懂可追问，谢谢支持。

Answer 5

我教你一个好办法 这种求证题 可以反推的 也就说要MG=NF就要什么等什么，然后继续往上推，一直到己知答案，不过写的时候不能这样的写，写还是要按照 求证写