Question

向您请教一个问题

小波分解后的D1（2-4months）D2(4-8months) D3(8-16months)...对于这个2-4months、4-8months怎样理解，是采样的间隔2的1次方、2的2次方这样理解吗？D1(2-4months)它所描绘的图像怎样用2-4months这个时间来进行解释呢？十分感谢您的帮助，谢谢谢谢~

Answer 1

“小波分解后的D1（2-4months）D2(4-8months) D3(8-16months)”,原始问题我不清楚，不知道是什么物理量对应的时间，也不知道它是如何得出的结论，姑且就认为它是对的。

“对于这个2-4months、4-8months怎样理解，是采样的间隔2的1次方、2的2次方这样理解吗？”这个问题一般人可能是这样理解的，但我认为这是一个基本而又复杂的问题，牵扯到由连续小波变换到离散小波变换的离散化问题，其中包括了尺度伸缩、时间平移、小波框架的建立、Nyquist 采样定理和离散小波变换实现的计算方法等方面。通常的离散小波变换是采用二进制小波（Dyadic Wavelet）的离散化（当然还有多进制小波变换，你可以查阅相关资料），它只是对尺度参数和时间平移参数离散化的（尺度参数就是以2的次方离散），和信号采样是没有关系的，但实现离散小波变换的计算方法中与滤波器相关的算法又与信号的采样间隔有关，所以这个问题就越扯越多了，我们就此打住吧。所以虽然“采样的间隔2的1次方、2的2次方”这种表述本身是就存在让人容易混乱概念的地方，但就这么着吧，你可以这么理解，其原因是普通的离散小波变换采用了二进小波变换的思想，所以每阶结果的小波系数个数都是高阶结果的2倍，这意味着时间分辨率随阶次的增高而变小，在高阶的变换结果中，与时间相关物理量信号对应的时间变长（信号波长变大）。又因为采用2的倍数计算，小波细节是通过带通滤波器实现的，其信号波长（频率）是一个范围，所以如果D1（2-4months）（两个值）那么D2(4-8months)，当然前提是当此物理量信号的波长能反应时间变化，即波长增大2倍时间也增加2倍。

“D1(2-4months)它所描绘的图像怎样用2-4months这个时间来进行解释呢？”这个就抱歉了还是因为不知道是什么物理量对应的时间，所以无法给出准确的回答，但可以给你点建议。我通常作空间问题，搞清楚物理量与空间的对应关系才能解释小波变换的结果。对于你的问题就是物理量的信号如何对应时间变化，是不是物理量信号波长增大2倍时间也增加2倍的问题。

还有不同数据量的数据和采用不同小波基变换，其结果解释可能不同，比如同一数据用不同小波基可能变为D1（1-2months）、D2(2-4months)...，或者数据量增大到原先的2倍，那么D1（1-2months）、D2(2-4months)...，因此将来写文章时一定要有定语“对于该数据，采用××小波，其结果D1表示（2-4months）的变化，D2表示(4-8months)的变化 ...”才是正确的，要不然总给人感觉D1就表示（2-4months）的变化，不会变化似的。

追问

真心十分感谢您的耐心回答！！自己基础薄弱这几天我也在反复消化您所说的内容，其实我所说的这个信号就是油价随时间的变化，通过symmlet小波将其分解后得到图像。对于您所说的“对于你的问题就是物理量的信号如何对应时间变化，是不是物理量信号波长增大2倍时间也增加2倍的问题。”我仍是迷惑不知您可否再给我指点一下。谢谢谢谢谢

追答

根据你的问题，横轴就是时间，纵轴为油价变化，那么就不牵扯第三方物理量，问题就很简单了，根据采样间隔就可以算出最低阶小波细节的波长范围，例如你的采样间隔是1个月，那么根据采样定理你的最小波长为2个月，当然还有一种解释认为采样间隔是1个月，那么最小波长为1个月，这两种解释的不同主要因为对一个采样间隔是一个周期还是半个周期的认识不同，但这两种认识在发表的论文中都可见到，就看你对信号处理的认识了。算出了最小的波长为2个月那么其最大波长就是4个月了（二进小波小波框架的时间参数的离散就是这样的，所以带通滤波最大波长是最小波长的2倍），算出了最低阶小波细节D1波长范围是2-4months那么D2必然为4-8months，以此类推算出各阶细节的波长.
由于不牵扯第三方物理量，你的横轴就是时间，所以信号波长增大2倍就是时间增加了2倍。我通常作空间问题，除了第一物理量长度，第二物理量，还有第三物理量深度，那样问题就复杂了，第一物理量长度的波长变大2倍就不敢说第三物理量深度也增加2倍。所以你的问题还是简单多了。