Question

已知0<X1<Y1，Xn+1=根号XnYn，Yn+1=(Xn+Yn)/2，证明：数列{Xn}和{Y

已知0<X1<Y1，Xn+1=根号XnYn，Yn+1=(Xn+Yn)/2，证明：数列{Xn}和{Yn}的极限存在并且相等

Answer 1

综述如下：

x(n+1)=√（xnyn)＜（xn+yn)/2=y(n+1)

于是0＜xn＜yn恒成立

y(n+1)=(xn+yn)/2＜（yn+yn)/2=yn

于是yn单调减，而yn＞0，于是单调减且有下界

于是limyn存在

令limyn=A＞0

因为xn＜yn，于是xn＜A

x(n+1)=√（xnyn)＞√（xnxn)=xn

于是xn单调增，而xn＜A，于是xn单调增有上界

于是limxn存在

令limxn=B

则limx(n+1)=√（AB)=B＞0

得A=B

即limxn=limyn

………………………………

若对xn＜A有疑惑可以进一步放大

xn＜yn＜y1

得xn有上界

代数是研究数、数量、关系、结构与代数方程（组）的通用解法及其性质的数学分支。初等代数一般在中学时讲授，介绍代数的基本思想：研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么，以及了解变量的概念和如何建立多项式并找出它们的根。

培养数学兴趣：重新认识数学

摆脱以往对数学复杂、枯燥的刻板印象，我们重新认识一下数学。提起数学，很多人会先想到加减乘除的运算、难以记忆的公式，其实这只是数学的一小部分，数学宇宙远比我们想象的更为广阔。

从宏观上的经济原理，到微观上的DNA双螺旋结构；从美术作品中的人体比例，到地图中海岸线的描绘；从毛衣的编织图案，到扑克牌游戏的规则……万物皆蕴含数学原理，如果我们把它局限于一门课程，往往会错过数学的美。

Answer 2

x(n+1)=√(xnyn)＜(xn+yn)/2=y(n+1)
于是0＜xn＜yn恒成立
y(n+1)=(xn+yn)/2＜(yn+yn)/2=yn
于是yn单调减，而yn＞0，于是单调减且有下界
于是limyn存在
令limyn=A＞0
因为xn＜yn，于是xn＜A
x(n+1)=√(xnyn)＞√(xnxn)=xn
于是xn单调增，而xn＜A，于是xn单调增有上界
于是limxn存在
令limxn=B
则limx(n+1)=√(AB)=B＞0
得A=B
即limxn=limyn
………………………………
若对xn＜A有疑惑可以进一步放大
xn＜yn＜y1
得xn有上界

Answer 3

1）xn+1=(xnyn)^1/2
<
1/2
(xn+yn)=yn+1
所以xn
<
yn
yn+1=1/2(xn+yn)
<
1/2(yn+yn)=yn
所以yn递减
又因为y1=b>0,x1=a>b,
y2=1/2(a+b)
>
x2=(ab)^2
,所以yn从y2开始递减，即yn
<
y2
y2=1/2(a+b)
>
b>0,
所以yn单调有界，
即极限存在。
2）xn+1=(xnyn)^1/2
>
(xn
xn)^1/2=xn
所以xn递增，同理，xn从x2开始递增,
即
xn
>
x2
又因为xn<
yn
<
y2
=1/2(a+b)
<
a,
所以xn单调递增有界，即极限存在。
感觉好像不对。yn+1=(1/2)*(xn+yn)
还是yn+1=1/[2*(xn+yn)]
？如果是=(1/2)*(xn+yn)那上面的过程就是对的