Question

过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F的直线交抛物线于A.B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,...

过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F的直线交抛物线于A.B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证：直线DB平行于抛物线的对称轴

Answer 1

F(p/2,0)   设AB的斜率为k 

则AB 直线的方程为:y=k(x-p/2)

准线方程为:x=-p/2

可以解得A,B两点坐标

k^2(x-p/2)^2=2px 

x^2-px+p^2/4 =2p/k^2 x

x^2-(p+2p/k^2)x+p^2/4=0

x1=(p+2p/k^2)/2 +2p/k^2 *根号(k^2+1)/2 

x2=(p+2p/k^2)/2-2p/k^2*根号(k^2+1) /2

不妨设xA=x1  xB=x2

yA=k(x1-p/2)   yB=k(x2-p/2)

所以AO直线方程为:y=k(x1-p/2)/x1 *x 

当x=-p/2时

xD=-P/2  yD=k(x1-p/2)/x1 *(-p/2)

可以得到yB=yD

所以DB平行x轴

得到结论成立