Question

如图,在△ABC中,AB=AC,D为AB上一点,F是AC延长线上一点,且BD=CF,连接DF交BC于点E，求证：DE=EF。求多种解

求5种以上解法！！！！！在线等！！！速度！！！
解法多的，速度快的，解题详细的加分到200！！！！！
最好有图！用初二解法！
把下图的B点和C点倒过来看就是原图！！！！！！！！！！

对这道题的分类是：做平行线构造等腰三角形或全等三角形。
解题思路例如：1、过点F做FG平行AB，然后证明。
2、过点D做DG平行AC，然后证明。
方法应该还有4种左右，求剩下的！速度！！！
把这个图的B点和C点交换位置看！！！！！

Answer 1

Answer 2

有12种。其实，都是一种------辅助平行线。（每次平行用两次，“平行三角形的一边截另两边所得的三角形三边与原来三角形三边对应成比例”）
（1）作AG∥BC交FD的延长线于G。∵AG∥BE∴AB/BD=GE/ED∵AG∥CE∴GE/EF=AC/CF∵AB=AC BD=CF∴AB/BD=AC/CF
∴GE/DE=GE/EF∴DE=EF
(2)作AG∥DF交BC的延长线于G。∵AG∥DE∴BD/AB=DE/AG∵EF∥AG∴CF/AC=EF/AG∵AB=AC BD=CF∴BD/AB=CF/AC
∴DE/AG=EF/AG∴DE=EF
(3)作DG∥BC交AC于G。∵DG∥BC∴AB/BD=AC/CG∵AB=AC∴BD=CG∵BD=CF∴CG=CF∵DG∥EC∴DE=EF
(4)作DG∥AC交BC于G。∵DG∥AC∴AB/BD=AC/DG∵AB=AC∴BD=DG∵BD=CF∴DG=CF∵DG∥CF∴DG/DE=CF/EF∴DE=EF
（5）作CG∥AB交BC的延长线于G。∵FG∥AB∴FG/AB=FC/AC∵AB=AC∴FG=CF∵BD=CF∴FG=BD∵FG∥BD∴DE/BD=FE/FG∴DE=EF
(6)作CG∥BC交AB的延长线于G. ∵FG∥BC∴AC/CF=AB/BG∵AB=AC∴CF=BG∵BD=CF∴BD=BG∵BE∥FG∴DE=EF
过B、C、E三点作六条平行线，比上面麻烦点，需要比例变形。
也可以D、F作的平行线，还可以用全等三角形

Answer 3

有些方法一楼已经回答了，就是利用做辅助线及割补法来证明。这些是初二课本上的方法，这里介绍一种简便的方法最为课外练习。就是利用梅捏劳斯定理来证明。如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么AF/FB×BD/DC×CE/EA=1梅涅劳斯定理
证明：
过点A作AG‖BC交DF的延长线于G
AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG

三式相乘得：
AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1
它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。

依照本题有AB/BF*FE/ED*CD/AC=1
又AB=AC,BF=CD
则有FE/ED=1即DE=EF

Answer 4

题目错了吧，应该是BF=CD吧。
当做BF=CD来做：
1）过D作DG//AB交BC于G点，则可证明△DGE全等于△FBE,所以DE=EF
2) 过F作FG//AC交CB的延长线于G点，则可证明△CDE全等于△GFE，所以DE=EF
3)过C作CG//AF,过F作FG//BC,两线交于G点，连接EG,则可以证明△CDE全等于△CGE,△EGF为等腰三角形，所以DE=GE=EF
要下班了，时间来不及，先写这三种方法吧。

追问

呵呵，原题是这个图的B点和C点交换位置。解法再++++++++++，解法再来些。

追答

4) 过D作DG//BC交AB于点G,则CD=BG=BF，所以E、B分别是△FDG边FD和FG的中点，DE=EF
5) 过F作FG//BC交AC的延长线于G点，则BF=CG=CD，所以E、C分别是△FDG边FD和DG的中点,所以DE=EF.

Answer 5

做FM平行AB交BC延长线于M
所以角ABC=角CMF
因为AB=AC
所以角ABC=角ACB
又因为角ACB=角MCF
所以角MCF=角CMF
所以FC=FM
所以BD=FM
所以三角形BDE全等于三角形EFM
所以DE=EF

过D作DG//AC交BC于G，而AB=AC
则：∠DEB=∠ACB=∠B，可知：DE=BD=CF
而∠DEG=∠FEC，∠ECF=∠DEC
所以：△DEG≌△FEC
所以：DE＝EF

追问

哥们除了这两种还有别的吗？这两种我知道，应该至少有六种。

追答

还有俩个全等被

证明：作FH∥AB交BC延长线于H，
∵FH∥AB，
∴∠FHC=∠B．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
又∠ACB=∠FCH，
∴∠FHE=∠FCH．
∴CF=HF．
又∵BD=CF，
∴HF=BD．
又∵FH∥AB，
∴∠BDE=∠HFE，∠DBE=∠FHE．
∴△DBE≌△FHE（ASA）．
∴DE=EF．

证明：过D点作AF的平行线交BC于G点，
∴∠ECF=∠DGE，
∴∠DGB=∠ACB
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠DGB，
∴DG=BD，
∵BD=CF，
∴DG=CF．
由∠ECF=∠DGE，∠DEG=∠CEF，DG=CF可得
△DGE≌△FCE（AAS），
∴DE=EF．

就真的没了