Question

如图P为正三角形ABC内一点PA＝2，PB＝4，PC＝2根号3求正三角形ABC的面积

Answer 1

此问题未提供附图，看不到 P、A、B、C 的具体位置或分布情况，但这不影响计算及结果；

以三角形ABC的角点 B 为原点，BC 为 x 轴建立如下图所示坐标系：

设 AB=BC=AC=6a，则坐标 B(0,0)、C(0,6a)、A(3a,3√3a)；

P 点到 B 与到 A 点的距离之比是 4/2=2，其应在以 O1 为圆心的圆上，圆半径 r1=(6a+2a)/2=4a，圆心坐标 O1(4a,4√3a)，轨迹方程：(x-4a)²+(y-4√3a)²=(4a)²；

P 点到 B 与到 C 点的距离之比是 2/√3，其轨迹方程为 3(x²+y²)=4[(x-6a)²+y²] → (x-24a)²+y²=432a²，圆心坐标 O2(24a,0)，圆半径 r2=12√3a；

连解以上两个圆方程并参照上图取较小的根作为 P 点坐标：P(24a/7,12a√3/7)；

|PB|=√(x²+y²)=√[(24a/7)²+(12a√3/7)²]=12a√7/7==4，所以 a=√7/3；

正三角形边长 6a=6√7/3；面积=(6a)²*(√3/4)=7√3；