Question

若指数函数y=a^x在[-1,1]上的最大值与最小值的差是1,则底数a为

Answer 1

指数函数都是单调的，因此最大值及最小值都在端点取得
因此必有|a-1/a|=1
故a^2-1=±a
解得：a=(±1±√5)/2
取正值，得：a=(√5±1)/2

追问

麻烦你能不能详细点讲，我领悟能力不高！谢谢

追答

因为当a>1时，y=a^x是单调增的，最大值即为a,最小值即为a^(-1)=1/a, 因此有a-1/a=1
当0<a<1时，y=a^x是单调减的，最大值为a^(-1)=1/a, 最小值为a, 因此有1/a-a=1
我上面是直接将这两式式子统一用一个|a-1/a|=1来表达了。

追问

那个a=(根号5正负一)是怎么算的

追答

解方程呀,a-1/a=1
去分母得：a^2-1=a
即a^2-a-1=0
用求根公式即得到，取其正根。
另一个方程也是同样。

追问

哦！谢啦~~