Question

求函数f(x)=(a+1)lnx+ax^2+1的单调区间

Answer 1

答：
当a≠-1时，定义域为(0,+∞)；当a=-1时，定义域为R
f'(x)=(a+1)/x+2ax
当f'(x)=0时，2ax^2+(a+1)=0，x^2=-(a+1)/(2a)
①当(a+1)/(2a)>0时，即a<-1或a>0，此时f'(x)=0无解，
I。当a<-1时，f'(x)恒<0，所以在(0,+∞)上单调减；
II。当a>0时，f'(x)恒>0，所以在(0,+∞)上单调增；
②当a=-1时，f'(x)=-x^2+1，f'(x)=0时x=0，在(-∞,0)上单调增，在(0,+∞)上单调减；
③当a=0时，f(x)=lnx，f'(x)=1/x在(0,+∞)上单调增；
④当-1<a<0时，x=√-(a+1)/(2a)，此时为极大值，
所以在(0,√-(a+1)/(2a))上单调增，在(√-(a+1)/(2a),+∞)上单调减
所以综上：
当a<-1时，f(x)无单调增区间，单调减区间为(0,+∞)；
当a=-1时，f(x)单调增区间为(-∞,0)，单调减区间为(0,+∞)；
当-1<a<0时，f(x)单调增区间为(0,√-(a+1)/(2a))，单调减区间为(√-(a+1)/(2a),+∞)；
当a≥0时，f(x)单调增区间为(0,+∞)，无单调减区间。