证明:不存在整数x,y使x²+3xy-2y²=122成立

newater__
2013-10-24 · TA获得超过3236个赞
知道小有建树答主
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用二次剩余理论证明.
用(k/p)表示k mod p的Legendre符号.
首先用二次互反律计算(17/61):
(17/61) = (61/17) = (27/17) = (3/17) = (17/3) = (2/3) = -1, 即17不是mod 61的二次剩余.

假设整数x, y满足x²+3xy-2y² = 122, 则有x²+3xy-2y² ≡ 0 (mod 61).
于是(2x+3y)²-17y² = 4(x²+3xy-2y²) ≡ 0 (mod 61), 即得(2x+3y)² ≡ 17y² (mod 61).
若y不被61整除, 则存在整数z使yz ≡ 1 (mod 61).
可得((2x+3y)z)² = (2x+3y)²z² ≡ 17y²z² ≡ 17 (mod 61), 与17不是mod 61的二次剩余矛盾.
若y被61整除, 则由x² ≡ x²+3xy-2y² ≡ 0 (mod 61)可知x也被61整除.
可得x²+3xy-2y²被61²整除, 与x²+3xy-2y² = 122矛盾.

因此x²+3xy-2y² = 122无整数解.
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