Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足3Sn=（n+2）an，a1=2

（1）求证：数列{an}的通项公式为an=n（n+1）
（2）求数列{1/an}的前n项和Tn
（3）是否存在无限集合M，使得当n属于M时，总有|Tn-1|小于1/10成立，若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）因3Sn=(n+2)an
则3S(n-1)=(n+1)a(n-1)
注意到Sn-S(n-1)=an
则有an/a(n-1)=(n+1)/(n-1)
由此有a2/a1*a3/a2*...*an/a(n-1)=[3*4*5*...*n*(n+1)]/[1*2*3*...*(n-1)]
即an/a1=[n*(n+1)]/(1*2)（中间项相约）
注意到a1=2
所以an=n*(n+1)

（2）因an=n*(n+1)
则1/an=1/[n*(n+1)]=1/n-1/(n+1)
由此有1/a1+1/a2+...+1/an=1-1/(n+1)（中间项抵消）
即Tn=1-1/(n+1)

（3）因Tn=1-1/(n+1)
则|Tn-1|=1/(n+1)
要使|Tn-1|<1/10
即使1/(n+1)<1/10
即得n>9
显然，只要M=(9,+∞)
当n∈M时，总有|Tn-1|小于1/10成立

Answer 2

(1)数学归纳法：
n=1时，a1=1*(1+1)=2,该通项公式成立；
假设n=N时也成立，即aN＝N*（N+1）
则aN+1＝SN+1－SN=［（N+3）aN+1-（N+2）aN）/3，化简得aN+1＝aN*（N+2）/N=N*（N+1)*(N+2）/N=（N+1)*[(N+1)+1],该通项公式成立。所以数列{an}的通项公式为an=n（n+1）。
(2)数列{1/an}的通项公式为1/n（n+1）=1/n -1/(n+1),
则前n项和Tn＝1/1*2+1/2*3+....+1/n（n+1）＝1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1)
(3)|Tn-1|=1-Tn=1/(n+1)，若要|Tn-1|<1/10,也就是1/(n+1)<1/10，只需要n>9，所以存在无限集合M＝｛n | n>9，n为自然数｝，使得当n属于M时，总有|Tn-1|小于1/10成立。

Answer 3

(1)证明：3a[n]=3(S[n]-S[n-1])=(n+2)a[n]-(n+1)a[n-1]
化简得(n-1)a[n]=(n+1)a[n-1]，即a[n]/a[n-1]=(n+1)/(n-1)，迭乘有
a[n]/a[n-1]*a[n-1]/a[n-2]*……*a[2]/a[1]=(n+1)/(n-1)*n/(n-2)*……*3/1=(n+1)!/[2(n-1)!]=n(n+1)/2
即a[n]/a[1]=n(n+1)/2
又a[1]=2，所以a[n]=n(n+1)/2*2=n(n+1) (n∈N*)

(2)1/a[n]=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)
故，T[n]=Σ1/a[n]=(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+……+[1/n-1/(n+1)]=1-1/(n+1)=n/(n+1)

(3)假设存在无限集合M，则有|T[n]-1|=|n/(n+1)-1|=1/(n+1)<1/10，解得：n>9
故存在无限集合M={n|n≥10,n∈N*}