Question

已知在三角形ABC中,∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，求证：DM=2分之1AB

Answer 1

方法一：取AC的中点E，连接DE、ME
∴DE是Rt△ACD的中线
∴DE=1/2AC
∴DE=CE
∴∠CDE=∠C
∵M为BC的中点，E为AC的中点.
∴EM//AB，EM=1/2AB
∴∠EMC=∠B=2∠C
∴∠DEM=∠EMC-∠CDM=2∠C-∠C=∠C
∴∠DEM=∠CDM
∴DM=EM
∴DM=1/2AB
方法二：做∠B的角平分线BE，交AC于E。连接EM。
有∠EBC=1/2*∠B=∠C，
BE=CE。三角形EBC是等腰三角形。
因为M是BC中点，所以EM⊥BC。
所以EM//AD。
CM/DM=CE/AE。
因为∠B的角平分线BE。由角平分线定理有
所以CE/AE=BC/AB
CM/DM=BC/AB
因为CM=1/2*BC，
得DM=1/2*AB