Question

已知数列An的前n项和为Sn，且Sn=1/3^n+n-1，n∈N。 （1）求数列An的通项公式 （

已知数列An的前n项和为Sn，且Sn=1/3^n+n-1，n∈N。
（1）求数列An的通项公式
（2）若数列bn的通项公式满足bn=n(1-an)，求数列bn的前n项和Tn

Answer 1

（1）Sn=1/3^n+n-1 ①

S（n-1）=1/3^（n-1)+(n-1)-1 ② （n≥2）
①-②
An=Sn-S（n-1）=（1/3^n+n-1）-（1/3^（n-1)+(n-1)-1 ）=1-2*1/3^n（n≥2）
n=1时成立，∴An=1-2*1/3^n

（2）bn=n(1-an)=n(1-1+2*1/3^n)=2n*1/3^n

Tn=b1+b2+b3+……+bn
``=2×1/3+4×1/3^2+6×3^1/3+……+2n×1/3^n……(1)
1/3Tn=2×1/3^2+4×1/3^3+6×1/3^4+……+2(n-1)×1/3^n+2n×1/3^(n+1)……(2)
(1)-(2)得
2/3Tn=2×1/3+2(1/3^2+1/3^3+……+1/3^n)-2n×1/3^(n+1)
````=2×1/3(1-1/3^n)/（1-1/3）-2n×1/3^(n+1)
````=1-1/3^n-2n×1/3^(n+1)
Tn=【1-1/3^n-2n×1/3^(n+1)】*3/2=3/2-½*3^(n-1)-n×1/3^n

Answer 2

（1）
an=sn-s(n-1)=3^n+k-3^(n-1)-k=3^n-3^n/3=2*3^n/3
a1=s1
2=3+k
k=-1
(2)
a(n+1)/2=[2*3^(n+1)/3]/2=3^n
(4+k)^anbn=3^(anbn)
anbn=n
(2*3^n)/3*bn=n
bn=3n/(2*3^n)=3/2*(n/3^n)