Question

f（z）=1/(1+z^2)在z=1处的泰勒展开式的收敛半径 怎么求？

请给出详细过程

Answer 1

复变函数，f（z）在复平面上z = ±i外解析，解析函数在任一点泰勒展开的收敛半径即是以该点为圆心的解析区域内最大圆半径。因为z = 1到z = ±i的距离为根号2，所以，f（z）=1/(1+z^2)在z = 1处泰勒展开的收敛半径应该是根号2的说。

扩展资料：

泰勒公式作为一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容

Answer 2

复变函数，f（z）在复平面上z = ±i外解析，解析函数在任一点泰勒展开的收敛半径即是以该点为圆心的解析区域内最大圆半径。因为z = 1到z = ±i的距离为根号2，所以，f（z）=1/(1+z^2)在z = 1处泰勒展开的收敛半径应该是根号2的。

^clear

clc

n=10;

syms z

f=1/(1-z-z^2);

r=taylor(f,n)

n代表展开的阶数

此处r=55*z^9 + 34*z^8 + 21*z^7 + 13*z^6 + 8*z^5 + 5*z^4 + 3*z^3 + 2*z^2 + z + 1

其系数为斐波那契数列

收敛半径为(根号(5)-1)/2

扩展资料：

收敛半径r是一个非负的实数或无穷大的数，使得在 | z -a| < r时幂级数收敛，在 | z -a| > r时幂级数发散。

具体来说，当 z和 a足够接近时，幂级数就会收敛，反之则可能发散。收敛半径就是收敛区域和发散区域的分界线。在 |z- a| = r的收敛圆上，幂级数的敛散性是不确定的：对某些 z可能收敛，对其它的则发散。如果幂级数对所有复数 z都收敛，那么说收敛半径是无穷大。

参考资料来源：百度百科-收敛半径

Answer 3

复变函数，f（z）在复平面上z = ±i外解析，解析函数在任一点泰勒展开的收敛半径即是以该点为圆心的解析区域内最大圆半径。因为z = 1到z = ±i的距离为根号2，所以，f（z）=1/(1+z^2)在z = 1处泰勒展开的收敛半径应该是根号2的说。.

Answer 4

如图所示