Question

对数函数的最值问题与取值，两题

Answer 1

探究2（2）解：  f(x)=log_ax，

底数a>1时，函数是递增的      

最大值=log_aπ, 最小值=log_a2, 

log_aπ- log_a2=1, log_aπ/2=1， 所以  a=π/2

底数0<a<1时，函数是递减的 

最大值=log_a2, 最小值=log_aπ, 

log_a2- log_aπ=1, log_a2/π=1，   所以a=2/π

 

探究3  解： f(x)=log₂[x²+(a-1)x+1]

(1)         定义域为R时，要使x取任何实数时原式都有意义，

     所以必须x²+(a-1)x+1的判别式<0

        （a-1）²-4<0  得 -1<a<3

(2)         值域为R时，要使x²+(a-1)x+1的值域为≤0，

     所以必须x²+(a-1)x+1的判别式≥0

        （a-1）²-4≥0  得 a≤-1或a≥3

Answer 2

探究题：
(1)
当a>1时，函数y=loga(x)是增函数，
f(max)=f(π)=loga(π)
f(min)=f(2)=loga(2)
loga(π)-loga(2)=1
loga(π/2)=1==>a=π/2
(2)
当0<a<1时，函数y=loga(x)是减函数，
f(max)=f(2)=loga(2)
f(min)=f(π)=loga(π)
loga(2)-loga(π)=1
loga(2/π)=1
a=2/π
综合可知：
a=π/2,或a=2/π
选做题
(1)
f(x)=log2(x^2+(a-1)x+1)
因为定义域为：R所以，
抛物线t=x^2+(a-1)x+1中的判别式Δ=(a-1)^2-4<0
-2<a-1<2
-1<a<3
所以，a的范围是：(-1,3)
(2)
因为值域为R，所以真数：t=x^2+(a-1)x+1，取遍（0，+∞）的一切数；
所以抛物线的最低点，必须在x轴下方；
也就是Δ=(a-1)^2-4≥0==>a-1≥2,或a-1≤-2
a≥3,或a≤-1