Question

a取下列哪个值时，函数f(x)=f(x)= 2x^3 - 9x^2 +12x - a恰好有两个不同的零点.答案是4，为什么求解题过程

Answer 1

f(x)= 2x^3 - 9x^2 +12x - a恰好有两个不同的零点，
即方程 2x^3 - 9x^2 +12x=a恰好有两个不同的实数根，
设g(x)=2x^3-9x^2+12x，h(x)=a，则原命题等价于曲线g(x)与直线h(x)恰有两个交点，
g'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)，
当x<1或x>2时，g'(x)>0；当1<x<2时，g'(x)<0，
故g(x)在(-∞，1)上递增，在(1，2)上递减，在(2，+∞)上递增，
所以g(1)=5为极大值，g(2)=4是极小值，
显然，当a=4或a=5时，曲线g(x)与直线h(x)都恰有两个交点；当a>5或a<4时，g(x)与h(x)只有一个交点；当4<a<5时，g(x)与h(x)有三个交点，
故a=4或a=5时，函数f(x)= 2x^3 - 9x^2 +12x - a恰好有两个不同的零点。
综合，得：a=4

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