Question

已知二次函数f（x）=ax^2+bx（a，b为常数且a不等于0）

已知二次函数f（x）=ax^2+bx（a，b为常数且a不等于0），满足条件f(-x+5)=f(x-3),且方程f(x)=x有等根求1，f（x）的解析式2，是否存在m，n（m＜n）使f（x）的定义域和值域分别为【m，n】和【3m，3n】？若存在，求出m n的值：

Answer 1

1.
f(x)=ax^2+bx
f(-x+5)=a(-x+5)^2+b(-x+5)
=ax^2-(10a+b)x+(25a+5b)
f(x-3)=a(x-3)^2+b(x-3)
=ax^2-(6a-b)x+(9a-3b)
10a+b=6a-b且25a+5b=9a-3b
2a=-b
b=-2a;

f(x)=ax^2-2ax
ax^2-2ax=x
ax^2-(2a+1)x=0
[ax-(2a+1)]x=0
x1=0,x2=(2a+1)/a
x1=x2=(2a+1)/a=0
a=-1/2

f(x)=-(1/2)x^2+x;

2.
f(x)的定义域为(-∞,∞)
设存在实数m ,n (m＜n)，使f(x)的定义域为[m,n]时，3m≤f(x)≤3n,
3m≤-(1/2)x^2+x≤3n
x≥1+√(1-6m)或x≤1-√(1-6m)
且1-√(1-6n)≤x≤1+√(1-6n)
这里要求m≤1/6,n≤1/6

即
x≥1+√(1-6m)且1-√(1-6n)≤x≤1+√(1-6n)
或x≤1-√(1-6m)且1-√(1-6n)≤x≤1+√(1-6n)

现在讨论前者：
1+√(1-6m)≥1-√(1-6n)时，
√(1-6m)≥-√(1-6n)，成立，
所以1+√(1-6m)≤x≤1+√(1-6n)，
√(1-6m)≤√(1-6n)，
因m＜n,所以不成立；

1+√(1-6m)≤1-√(1-6n)时，
√(1-6m)≤-√(1-6n)
也不成立；

现在讨论后者：
1+√(1-6n)≤1-√(1-6m)时，
√(1-6n)≤-√(1-6m)
不成立；

1-√(1-6n)≤1-√(1-6m)≤1+√(1-6n)时，
-√(1-6n)≤-√(1-6m)≤√(1-6n)
√(1-6n)≥√(1-6m)
不成立；

所以不存在。