Question

证明所有k,n属于整数，（k-n）能被（k-1）整除当且仅当（k-n)能被（n-1)整除。

证明所有k,n属于整数，（k-n）能被（k-1）整除当且仅当（k-n)能被（n-1)整除。英文原题：For all k,n in Z, (k-n) divides (k-1) if only if (k-n) divides (n-1)

Answer 1

假设（k-n）＝A（k-1），由题意知n不等于1，所有k,n属于整数，所以A不等于1。
则（k-n）＝A（k-n+n-1）=A（k-n)+A(n-1）,
也就是（1-A）（k-n）＝A(n-1）,即（k-n）＝(n-1）［A/（1-A）］，
假设Q＝A/（1-A）是整数，则A=Q/(1+Q)，当且仅当Q＝0是整数时，A＝0才能取整数。所以当且仅当（k-n)能被（n-1)整除时，（k-n）能被（k-1）整除，而且此时（k-n）/（n-1)＝0，也就是k＝n。