Question

求e的x次方乘以 sinx的积分

如果积分出现2个部分，类似于乘法的形式可以用导数的乘法公式吗？我有点乱了，比如这题，我会看成是e的x次方乘以sinx

Answer 1

分部积分法，这个方法确实是利用乘法导数推导出来的
∫e^xsinxdx
=∫sinxde^x
=sinxe^x-∫e^xdsinx
=sinxe^x-∫cosxe^xdx
=sinxe^x-∫cosxde^x
=sinxe^x-(cosxe^x-∫e^xdcosx)
=sinxe^x-cosxe^x-∫sinxe^xdx
2∫e^xsinxdx=sinxe^x-cosxe^x
∫e^xsinxdx=e^x(sinx-cosx)/2

Answer 2

∫e^x sinx dx=∫ sinx de^x
= sinx .e^x - ∫ cosx de^x
= (sinx - cosx).e^x - ∫ sinx e^x dx
2∫e^x sinx dx =(sinx - cosx).e^x
∫e^x sinx dx =(1/2)(sinx - cosx).e^x + C

追问

sinx .e^x - ∫ cosx de^x

这部还是不太明白，如果sinx已经变成cosx 为什么还有积分符号，
sinx .e^x 为什么会变成(sinx - cosx).e^x

追答

∫ sinx de^x
= sinx .e^x - ∫ cosx de^x

u= sinx , v=e^x
∫ udv = uv - ∫ vdu
=sinx .e^x - ∫ cosx e^x dx
=sinx .e^x - ∫ cosx de^x

追问

非常感谢，我没理解部分积分法的定理 ∫ udv = uv - ∫ vdu 有点混乱状态，一会换元法一会部分积分有点乱。非常感谢您的解答。

1-sinx分之一的积分也是用部分积分法吗？

追答

∫ (1- 1/sinx) dx

= ∫ dx - ∫ cscx dx
= x - ln|cscx-cotx|+ C

追问

不好意思，我写错了是（1-sinx）分之一的积分