Question

数学高手请进来，急～

能不能告诉我怎么样证明三角形三心（外心、垂心、重心）共线啊～谢谢

Answer 1

……（我在这作个标记，我想完后回答你）

Answer 2

我们以前做过

Answer 3

题 求证：任意三角形的垂心H，重心G和外心O三点共线．

这道题乍一看较为棘手，一般的学生不知如何下手，若把命题改为“△ABC内接于圆O，H为垂心．求证H到该三角形任意顶点的距离等于O到这个顶点所对的边距离的两倍．”证起来就轻松多了．下面先简单证明这个命题．

证明 如图1（仅以锐角三角形为例），O是△ABC的外心，H是垂心，OM⊥BC于M，即证AH=2OM，连BO且延长交圆O于D，则DC=2OM．

∵ BD是直径．

Þ AH=DC

即 AH=2OM．这就为我们证明前者奠定了基础，于是就有三角形三心共线的第一种证法．

证法1 在图2中，H、O分别为△ABC的垂心和外心，中线AM交HO于G′，

∵ AH‖OM，且AH=2OM

∴ AG′=2G′M，即G′就是重心G，故H、G、O三心共线．

证法2 如图3，作OM⊥BC，OF⊥AB，垂足分别为M、F，则M是BC的中点，F是AB的中点，

∴ FM‖AC，且AC=2FM

∵ OF、CE均垂直于AB，且FM‖AC

∴ ∠1=∠2，同理∠3=∠4，从而有

△OMF∽△HAC

∵ AC＝2FM，

∴ AH=2MO．

∴ AM与OH的交点必为重心G，故H、G、O三心共线．

证法3 在图4中，△ABC的两条高AD、BE相交于H（垂心），边AC和边CB上的中垂线ON、OM相交于O（外心），M、N分别在CB、AC上，则AM与BN的交点为重心G，

BE于Y，交ON于X，AD交ON于Q，连OG和HG，可证△XOG∽△YHG

∵ △NXG∽△BYG

∠OXG=∠HYG（两线平行，内错角相等）②

XG=b，YG＝2b．

由①、②、③知△XOG∽△YHG得∠OGX=∠HGY，可得H、G、O三点在一条直线．即任意三角形的垂心、重心、外心共线．

在上述三种证法中，证法1和证法2的思路清晰、敏捷；证法3是融代数、几何于一体，可培养我们综合运用能力．