Question

高数函数的有界性问题

函数，数列的有界性，书上规定|f（x）|小于等于M算有界，假如-3小于等于|g（x）|小于等于2，-3和2不是同一个数，算有界吗？g（x）的有界性是否表示为|g（x）|小于等于3？

Answer 1

函数的有界性。

定义：在某个过程中，有一个变量y，如果存在一个正数A，在这个过程中能够找到一个时刻，在
这个时刻以后，永远有∣y∣<A，则变量y叫作“有界变量”。这里的“变量”，当然包括函数，数列
等等。
此定义的要点是强调正数A的存在性，至于A的准确大小并不在意。
例如，1/2，1/4，......，1/2ⁿ，.......
是有界变量。因为任取A=1/1024，那么当n>10以后，恒有1/2ⁿ<1/1024。
还有一个定义：如果变量y在其全部变化过程中(也就是在它的定义域内)恒有m≦y≦M，那么M叫作变量y的上确界，m叫作变量y的下确界。比如上例的上确界是1/2；有下界，但无下确界，即0<1/2ⁿ≦1/2.
你提的-3≦g(x)≦2，g(x)当然是有界函数，而且有上确界2和下确界-3。如果只考虑“有界”，无需确定其“确界”，当然取∣g(x)∣≦3，或取∣g(x)∣<4，等等都是可以的。

Answer 2

有界，并不表明只有一个上界，只是最小上界至多只有一个，其它任何一个大于最小上界的数都可作为M。

追问

也就是M可以去任意大于3的值啦？

追答

嗯