Question

怎样解含字母系数的方程

Answer 1

金贵明学好解含字母系数的方程，对防止遗根的出现有很大的好处，而学生对含字母系数的方程往往忽略了分析。下面举几个分析的例子。1、 一元一次方程基本情是方程 a=ba≠0. 方程有唯一根a=0 b≠0 方程无根 b=0 方程有无穷多根例1 解方程式 －a=解：方程两边同乘以b.(这里b=0，否则原方程失去意义。)得：b－ab=..移项合并同类项：（b－1）=ab.(1) 当b≠1时方程有唯一解x=(2) 当b=1,a≠0时，方程有无穷多个解。在这里若干b=1，代入原方程，移项整理后得到的是矛盾等式或等式，说明并非所有方程都能化成a=b (a≠0)的形式。例2 解方程 (a＋－b)(a－b－) ＝(－)(＋)－解：〔（a－b）＋〕〔(a－b)－〕 ＝＋(＋)－－＝（a－b）－＝(－)－即：(（1）若a－b≠0即a≠b时，方程化为（a＋b）=a－b.①a=-b时，方程有唯一根x=②a=-b时，原方程无根。（2）若a=b时，方程有无穷多根。这里我们看到在字母方程中，我们绝不可轻易对方程两边除以字母的代数式，不可将（-）=(a-b)化成(a+b)=(a-b)再来讨论。这一点在今后各类方程和方程中都是值得特别注意的。2、二元一次方程组对于方程组 ＋＋＝0 ＋＋＝0 这里，，，不全为0，用加减消元可得：（－）＝－ ①（－）＝－ ②可见：（1）当－≠0时，方程组有唯一解 ＝＝这时≠， 就是≠，即未知数系数不成比例时有唯一解。从几何意义上看，表示代表两方程的直线的斜率不相等，或者平面上的两直线不平行也不重合时，方程组有唯一解。（2）当－0，且 ，中至少有一个不为0，则在①、②两方程中至少有一个无解，从而方程无解，≠0 或≠0 必有≠或≠，即当未知数系数成比例，但不与常数项成比例时方程组无解，也就是代表两方程的直线平行时方程组无解。（3）当＝时，方程组有无穷多解，这时未知数系数与常数项成比例，代表两方程所表示的直线重合。例： 解方程（m＋5）＋(2m＋3)＝3m＋2 ①(3m＋10)＋(5m＋6)＝2m＋4 ②解： ②×（2m＋3）－①×(5m＋6)得：m(m－2)＝-m(11m＋14)当 m(m－2)≠0时， ＝-代入②得：＝当m=0时，x可为任意数a,y＝从而有无穷多解。当m＝2时，方程组无解。3．一元二次方程。完整地分析二次方程的根，必须在学完判别式、韦达定理之后，但是，在二次项具有字母系数时会遇到二次方程退化为一次方程的情况。而在判别式，韦达定理中，我们通常是假定二次项系数不为0。所以，对于具体的字母系数二次方程，常规讨论还是必要的。例 解关于x的方程：解法一：原方程变形为（1-m）(m-3)+2=0当m＝1时，方程变为一次的，它的唯一根当m≠1时，， 总之，含字母的方程由于字母的取值不确定，出现的情况不是唯一的。在解字母的方程时我们应考虑要全面，避免遗根的出现。这样才能提高解方程的能力。 2006、12、25