Question

如图，在三角形ABC中，角A=60°，BE垂直AC，垂足为E，CF垂直肋，垂足为F，点D是BC的中

如图，在三角形ABC中，角A=60°，BE垂直AC，垂足为E，CF垂直肋，垂足为F，点D是BC的中点，BE，CF交于点M。 （1）如果AB=AC（如图1），求证：三角形DEF是等边三角形； （2）如果AB不等于AC（如图2），试猜想三角形DEF是不是等边三角形。（并加比证明）

Answer 1

1）证明：∵∠A=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，
∴E、F分别是AC、AB边的中点，
又∵点D是BC的中点，
EF=1/2BC，DE=1/2AB，DF=1/2 AC，
∴EF=ED=DF，
∴△DEF是等边三角形；

（2）解：△DEF是等边三角形．
理由如下：∵∠A=60°，BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠ABE=∠ACF=90°-60°=30°，
在△ABC中，∠BCF+∠CBE=180°-60°-30°×2=60°，
∵点D是BC的中点，BE⊥AC，CF⊥AB，
∴DE=DF=BD=CD，
∴∠BDF=2∠BCF，∠CDE=2∠CBE，
∴∠BDF+∠CDE=2（∠BCF+∠CBE）=2×60°=120°，
∴∠EDF=60°，
∴△DEF是等边三角形；

Answer 2

（2)、当AB=AC时，∠FBC=∠ECB=60°
所以：∠EBC=∠FCB=30°且△ABC是等边三角形
所以：BF=(1/2)BC,EC=(1/2)BC,即BF=CE=(1/2)BC，即EF是三角形ABC的中位线
所以：EF=(1/2)BC
而：ED,FD分别是直角三角形BCE和直角三角形BCF的斜边中线
所以：DE=DF=(1/2)BC
所以：DE=DF=EF ，即△DEF是等边三角形