Question

函数f（x）=a^x+loga （x+1）在[0，1]上的最大值与最小值之和为a，求a的值。

Answer 1

f(0)=a^0+loga(0+1)=1+0=1
f(1)=a^1+loga(1+1)=a+loga(2)
当a>1时，函数a^x,与loga(x+1)都是增函数，而两个增函数相加还是增函数；
所以，
f(max)=f(1)=a+loga(2)
f(min)=f(0)=1
f(max)+f(min)=a+1+loga(2)
当0<a<1时，同理f(x)是减函数，
f(max)=1,
f(min)=a+loga(2)
f(max)+f(min)=a+1+loga(2)
根据题意：
a+1+loga(2)=a
loga(2)= - 1
a^(-1)=2
1/a=2
a=1/2

Answer 2

不论a为何值, a^x与loga(x+1)的单调性相同，所以f(x)也是单调的，最大最小值即为端点值
所以a=f(0)+f(1)=1+a+loga(2),
即有loga(2)=-1,
得：a=1/2