Question

已知：如图所示，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，

H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．

猜想CE与BG的数量关系，并证明结论

Answer 1

利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出BF=AC．
利用AAS判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE= AC，又因为BF=AC所以CE= AC= BF
连接CG．因为△BCD是等腰直角三角形，即BD=CD．又因为H是BC边的中点，那么DH垂直平分BC．即BG=CG．
在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即CE＜BG．解答：证明：（1）∵CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD=CD．
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF=90°-∠BFD，∠DCA=90°-∠EFC，且∠BFD=∠EFC，
∴∠DBF=∠DCA．
又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，
∴Rt△DFB≌Rt△DAC．
∴BF=AC；

（2）在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
又∵BE=BE，∠BEA=∠BEC=90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC．
∴CE=AE= AC．
又由（1），知BF=AC，
∴CE= AC= BF；

（3）CE＜BG．
证明：连接CG．
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD
又H是BC边的中点，
∴DH垂直平分BC．∴BG=CG
在Rt△CEG中，
∵CG是斜边，CE是直角边，
∴CE＜CG．
∴CE＜BG．