Question

时间を大切にすべきだという教え。すべき是什么意思呢？

Answer 1

“时间を大切にする”　意为“要珍惜时间”，它套用了句型：“---を　--（名词）形容动词词干にする”，此句式用于“人为把某事物进行改变”的场合。
“する+べきだ” →“すべきだ”
“动词终止形+べきだ”是句式（但サ変动词“する”，一般可为：→“すべきだ”），意为“应该--；理应---”（用于表示“认为应该做某事”的场合）
整句意思为：有“应该珍惜时间”这样的教诲。（根据具体情况可酬情翻译）

Answer 2

べき是沿用了古语中べし的连体形，上接终止形。因为本来就是上接终止形，而サ変动词原本终止形是す，连体形才是する，只是口语里面把终止形和连体形统一了，所以也不能说是するべき的简化吧。
すべき，
表示推量，就是「会做的吧」
表示意志，就是「打算去做」
表示当然，就是「非做不可」
表示可能，就是「能够做到」
表示适当，就是「做了的好」
「时间を大切にすべきだという教え」里是当然的意思，可以翻译为必须吧。

Answer 3

这个句子里是“应该”的意思。“すべき”是“するべき”的简化。具体这个词有2种意思，①应该~，应当~，②能够~，值得~。接续：动词连体形+べきだ（サ変动词也可以用「すべきだ」）