Question

已知x^2+2x+5是x^4+ax^2+b的一个因式，那么a+b的值是

Answer 1

x^2+2x+5是x^4+ax^2+b
则x^4+ax^2+b可以写成(x^2+2x+5)(x^2+t)的形式
(x^2+2x+5)(x^2+t)=x^4+2x^3+5x^2+tx^2+2tx+5t
=x^4+(2+t)x^3+5x^2+2tx+5t
根据对应项系数相等
则有
2+t=0
5=a
b=5t
所以t=-2 a=5 b=-10

Answer 2

设x^2+2x+5=0的两根为x1,x2,则有x1+x2=-2,x1x2=5.由题意，x1x2它也是x^4+ax^2+b=0的根。
这样有x1^2,x2^2是方程xx+ax+b=0的根。
由根与系数的关系，x1x1+x2x2=-a,x1x1x2x2=b
-a=(x1+x2)^2-2x1x2=4-10=-6
b=25
a+b=6+25=31