Question

数学必修一中判断函数的单调性方法。

没学复合函数前，我们是用设X1，X2的方法来判断函数的单调性，学了复合函数后可以根据内层函数和外层函数的增减性来判断，请问一下我可不可以理解为判断函数的单调性有这两种方法，是不是以后判断函数的增减性都可以直接用内层函数和外层函数的增减性来判断？

Answer 1

首先,最常用的就是导数法,利用定义证明函数y=f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
（1）任取x1，x2∈D，且x1<x2；
（2）作差f(x1)－f(x2)；
（3）变形（通常是因式分解和配方）；
（4）定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
（5）下结论（即指出函数 f(x) 在给定的区间D上的单调性）。

但是,如果复合函数的话
可以把函数化成几个单一的函数。
比如说y=4/(x+5)
我们可以看成是y=5/x 和y=x+5两个函数的复合,然后分别确定两个函数的单调区间，当然前边那个只是举例，事实上一般都比那个复杂。
确定完单一函数的单调区间后取交集,比如：第一个单一函数的单调区间是
（3，6）递增，[6，12）递减，（13，15）递增（假设这就是定义域）
第二个函数的单调区间是（3，12）单调递减，（13，15）递增

那么我们就要取他们的单调交集
因为第二个函数的递减区间是（3，12）
而第一个正好是（3，6）和[6,12)
那么就可以直接划分成（3，6），[6,12)，（13，15）三个集合
第一个集合是增减（即第一个函数是增，第2个函数是减）
依此类推，第二个集合是减减，第三个增增
有一个定理是复合函数的单调性是
增增得增
减减得增
增减得减
其实就是正负号相乘，正正得正，负负得正
关键在于找到单一函数和取对交集

最后,说明：

1、讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必

须先确定函数的定义域，

2、函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有

增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间

上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括

不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点。

希望对你有帮助.
评论(4)|1392

mzxmmzxm |四级采纳率50%
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检举|2008-11-26 12:19O客| 来自手机知道|十四级
一般地，判断(而不是证明)函数的单调性，有下面几种方法。
1。基本函数法
用熟悉的基本函数（一次、二次、反比例、指数、对数、三角等函数）的单调性来判断函数单调性的方法叫基本函数法。
2。图象法
用函数图象来判断函数单调性的方法叫图象法。图象从左往右逐渐上升是增函数。图象从左往右逐渐下降是减函数。
3。定义法
用单调性的定义来判断函数的单调性的方法叫定义法。设x1,x2∈D,x1<x2有f(x1)<f(x2) (>)f(x)是D上的增函数（减函数）。
过程为取值——作差——变形——判符号——结论。其实，这也是单调性的证明过程。
4。函数运算法
用单调函数通过四则运算得到的和差积商函数来判断函数的单调性的方法叫函数运算法。
设f，g是增函数，则在f的单调增区间上，或者f与g的单调增区间的交集上，有如下结论：
①f+g是增函数。
②－f是减函数。
③1/f 是减函数(f>0)。
④fg是增函数（f>0,且g>0）。
5。导数法
用导数符号来判断函数单调性的方法叫导数法。f（x）是增函数(减函数)f′>0(f′<0).
6。复合函数单调性判断法则
由函数u＝φ(x)和函数y=f(u)复合而成的函数y=f[φ(x)]叫复合函数.复合函数的单调性判断法则如表所示。口诀：相同则增，相异则减。
复合函数单调性的四种情形可列表如下。

函 数 单 调 性
① ② ③ ④
内层函数t=φ（x） ↑ ↓ ↑ ↓
外层函数y=f（t） ↑ ↓ ↓ ↑
复合函数y=f[φ（x）]↑ ↑ ↓ ↓

复合函数单调性的证明，请看参考资料
http://hi.baidu.com/ok%B0%C9/blog/item/c4c9ecc9e5e03d117f3e6f15.html
参考资料：http://hi.baidu.com/ok%B0%C9/blog/item/c4c9ecc9e5e03d117f3e6f15.html

Answer 2

是的，是可以用内外层函数的增减性来直接判断。

追问

为什么老师说设x1,x2的方法是用来证明函数的单调性，用内外层函数的增减性只能来判断，在考试中老师要看证明的过程。