Question

如图，已知AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE

Answer 1

法1：由AB=AC，利用等边对等角得到一对角相等，同理由AD=AE得到一对角相等，再利用外角性质及等量代换可得出一对角相等，利用ASA得出三角形ABD与三角形AEC全等，利用全等三角形的对应边相等可得证；
法2：过A作AH垂直于BC于H点，由AB=AC，利用三线合一得到H为BC中点，同理得到H为DE中点，利用等式的性质变换后可得证．

证明：法1：∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角），
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED（等边对等角），
又∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE（等量代换），
在△ABD和△ACE中，
∠B=∠CAB=AC∠BAD=∠CAE
，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）；

法2：过点A作AH⊥BC，垂足为点H，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH（等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合），
同理可证，DH=EH，
∴BH-DH=CH-EH，
∴BD=CE．
此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，利用了等量代换的思想

Answer 2

证明：
∵AB=AC
∴∠B=∠C（等边对等角）
∵AD=AE
∴∠ADE=∠AED（等边对等角）
又∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠CAE（外角）
∴∠BAD=∠CAE（等量代换）
在△ABD和△ACE中
∵AB=AC，∠BAD=∠CAE ，AD=AE
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE

Answer 3

因为AD=AE（已知）

因为∠ADE=∠AED（等边对等角）

因为∠ADE+∠ADB=180°

∠AED+∠AEC=180°（等式性质）

所以∠ADB=∠AEC（等角的补角相等）

因为AB=AC（已知）

所以∠B=∠C（等角对等边）

在△ABD与△AED中

∠B=∠C（已证）

∠ADB=∠AEC(已证）

AB=AC（已知）

所以△ABD全等△AED（A.A.S)

所以BD=CE(全等三角形对应边相等）