Question

关于二重积分的轮换对称性问题

不是谈二重积分的对称行，是对称性中的轮换对称性。
二重积分轮换对称性有什么条件？
有人说只要f（x，y）关于x＝y对称就行，有人说是积分区域关于x＝y对称，还有说两点都要满足。我被弄糊涂了，我现在只知道一般如果轮换后区域不对称的话，即使可以轮换对成意义也不大，因为没办法叠加了。
还有，什么叫区域关于x＝y对称？

Answer 1

二重积分轮换对称性，一点都不难

Answer 2

你说的那几种情况都不是轮换对称性，首先所谓轮换对称性就是，如果把f(x,y)中的x换成y，y换成x后，f(x,y)的形式没有变化，就说f(x,y)具有轮换对称性。例如x^2+y^2有轮换对称性，而2x+3y没有轮换对称性（因为换完后是2y+3x，和原来的不一样）。下面说明轮换对称性在二重积分中的应用，我们知道二重积分的积分区域的边界可以用方程f(x,y)=0表示，如果这里的f(x,y)具有轮换对称性，那么被积函数中的x和y互换后积分结果不变。例如∫∫x^2dxdy，积分区域为圆周x^2+y^2=1，由于轮换对称性可知∫∫x^2dxdy=∫∫y^2dxdy（这就是把被积函数中的x换成了y），因此积分=(1/2)∫∫2x^2dxdy=(1/2)∫∫(x^2+y^2)dxdy，再用极坐标计算就简单多了。有不明白的地方欢迎追问。