Question

已知函数f(x)=（x+1-a）/（a-x）(a属于R且x不等于a)

1.当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时，求证:f(x)的值域为[0,1]
2.设函数g(x)=x^2-1+│(x-a)f(x)│，求g(x)的最小值

Answer 1

f(x)=-1+1/(a-x)= -1 -1/(x-a)
a-1≤x≤a-1/2, -1≤x-a≤-1/2
-2≤1/(x-a)≤-1
1≤-1/(x-a)≤2
故：0≤f(x)≤1,即值域是[0,1]

（2）g(x)=x^2-1+|x+1-a|
当 x≥a-1时，g(x)=x^2+x-a=(x+1/2)^2-a-1/4
若 -1/2≥a-1,即a≤-1/2
g(x)最小值是 -a-1/4
若 a>-1/2,g(x)最小值＝g(a-1)=a^2-2a

当x<a-1时，g(x)=x^2-x+a-2=(x-1/2)^2+a-5/2
若 1/2≤a-1,即 a≥3/2时，最小值为a-5/2
若 a<-1/2 g(x)最小值为g(a-1)=a^2-2a