Question

关于复合函数的极限运算法则

同济第五版《高等数学》P48的定理六的一个条件：
”且存在δ＞0，当X属于x0的δ0去心邻域时，有g（x）不等于u0，则
lim（x→x0）f〔g（x）〕＝lim（u→u0）f（u）＝A”
这个条件起什么作用啊？从证明过程看是需要的，但是举不出反例啊！
（符号不好打，凑合着理解吧）
请热心人注意看清一下问题,最好翻一下书上那个地方.我的问题不是关于极限定义的,而是关于那个定理的一个条件的.如果有满意的回答愿追加赏金.

Answer 1

(1)你已理解,"从证明过程看是需要的".这就对了!事实上,这种需要,是为了不失一般性,为了符合"极限的定义"之需要,并不是g（x）不符合这个条件就不成立了的那种需要.而极限这样定义,却是为了研究那些趋于x0而不达到x0之问题,至于达到x0的情况,是比达不到的情况更简单的.
(2)具体说,你不可能举出反例.因为当g（x）等于u0时,结论必真.
(3)这样理解:是为了符合极限定义中"(x-x0)的绝对值>0"之要求,当不符合>0时,极限仍成立,用"连续"的情况来理解:见同济第五版《高等数学》P61的前7行,再参看P66定理3定理4,应该可以想明白了.

Answer 2

我想这个问题也想了很久，我的看法是这个条件是这个定理的必要条件，没有这个条件这个定理是不成立的，就比如上面那个举出来的分段函数的反例。这个定理其实关心的是在U0附近的复合函数的取值，至于g（x）=U0时，复合函数的取值则不是这个定理所关心的，因为f（x）可以在这一点连续，不连续，甚至还可以没有意义，这就导致了复合函数在该点需要另外分析。

Answer 3

你要是学高数的 这个基本不用太关注 数学分析研究的深入一些

去心邻域的限定使得比如一些点，在该点函数无意义，但是该点邻域内有意义，这样的该点的极限仍然存在

我记不清了，大概是这样的 ，你可以查阅一些数学分析的书，比如 高教的 数学分析教程

Answer 4

你可以这样想，如果补充一条性质:对任意的ε大于0,存在δ大于0,当x-xo的绝对值小于δ时，f(x)-A的觉对值小于ε时，f(x)的极限是A。这样证明你那个问题时就可以去掉g(x)不等于uo这个条件了。

Answer 5

极限是种趋势 与这点的值无关
极限不用管这一点x0 也管不到这一点
LZ多看看极限的定义哦