Question

二道高中数学不等式的题，高手求助

1.已知实数a、b、c...h满足a+b+c+...+h=20，a*b*c*...*h<12（全相乘），求证：a、b、c、...h中至少有一个小于1.
2.解不等式：4^x+6^x＞9^x

Answer 1

1 反证法.
假设a,b,c,...,h这8个数都>=1.
因为a+b+c+...+h=20,
所以a*b*c*...*h的最小值=1*1*1*...*13=13>12
矛盾!
所以,a、b、c、...h中至少有一个小于1.

2 4^x+6^x＞9^x
所以 (4/9)^x+(2/3)^x>1
所以 (2/3)^(2x)+(2/3)^x>1
f(x)=(2/3)^x 是减函数.
所以 g(x)=(2/3)^(2x)+(2/3)^x 是减函数.
设(2/3)^x=y>0;
那么 y^2+y-1>0
得: y>(-1+√5)/2
所以, x<log(2/3,y) 即x<log[2/3,(-1+√5)/2]