Question

定义在R上的偶函数f(x),满足f(x+1)=-f(x),且在区间[-1,0]上为递增,则（ ）

A.f(3)＜f(√2)＜f(2) B.f(2)＜f(3)＜f(√2)
C.f(3)＜f(2)＜f(√2) D.f(√2)＜f(2)＜f(3)

Answer 1

f(x)在R上为偶函数，f(x＋1）＝－f(x)
f(x+2)=f(x)
所以f(x)是以2为周期的函数。
偶函数,[-1,0]递增－>[0,1]递减

2为周期－>[1,2]递增，[2,3]递减
f(2)最大，
根号2离2最小，所以f(根号2）次小
f(3)最小
选A

Answer 2

f(x+1)=-f(x)
f(x+2)=-f(x+1)
-f(x+2)=f(x+1)

所以
f(x)=f(x+2)
所以f(x)周期为2

f(x)在R上为偶函数所以在[0,1]递减（T=2，则在[2,3]递减
所以f(3)＜f(√2)＜f(2)
所以选A

Answer 3

令t=x+1,则x=t-1,代入得:
-f(t)=f(t-1)得-f(x)=f(x-1)
所以f(x+1)=f(x-1)
说明f(x)是周期为2的偶函数,
所以f(3)=f(1)
因为在[-1,0]为增,所以在[1,2]也为增
1＜√2＜2所以f(1)=f(3)＜f(√2)＜f(2) 选A

Answer 4

因为f(x+1)=-f(x),
所以f(x+2)=f[(x+1)+1]=-
f(x+1)
=f(x),
函数的周期是2。
f(3)=f(3-2)=f(1).
f(根号二)=
f(√2-2)=f(2-√2)(偶函数性质)
f(2)=f(2-2)=f(0)
偶函数在对称区间上的单调性相反，在区间【-1,0】上为递增，
则它在【0,1】上递减，
所以f(0)
>f(2-√2)>
f(1).
即f(2)
>f(根号二)
>f(3).