Question

一个两位数乘以7, 得到的积的各个数字和恰好是18. 这样的两位数有多少个?

我们老师说这两位数一定是9的倍数.
为什么啊??..

Answer 1

借鉴我们判断一个数是否能被3整除，
一个方法就是将每个数位上的数进行相加，最后得到3的倍数就可以整除。
这个也是一样的道理。
得到积各个数字和是18，那么就可以被9整除，
进而可知道即使这个数再除以7，得到原来的两位数也是9的倍数，
因为7与9互质，不会约去9的。
共有四个两位数27，54，81，99

Answer 2

各位数的和是9的倍数的数字，一定是9的倍数……
先说原理，简单的原理
ABCDEF=100000A+10000B+1000C+100D+10E+F
A+B+C+D+E+F=9X （各位数的和是9的倍数）
ABCDEF=99999A+9999B+999C+99D+9E+A+B+C+D+E+F
=99999A+9999B+999C+99D+9E+9X （看，本身就是9的倍数吧）
其实还可以再加长，只是我很不想写10的N次方乘以A + 10的（N-1）次方乘以B + ……在电脑上写这些太麻烦了。

所以这个积一定是9的倍数，而7和9是互质的，9这个因子一定来自于原来的数值。
也就是说这个2位数一定是9的倍数。
18 × 7 = 126，不符合
27 × 7 = 189，符合
36 × 7 = 252，不符合
45 × 7 = 315，不符合
54 × 7 = 378，符合
63 × 7 = 441，不符合
72 × 7 = 504，不符合
81 × 7 = 567，符合
90 × 7 = 630，不符合
99 × 7 = 693，符合
27，54，81，99

Answer 3

设这个两位数为AB
因为最大的两位数为99，9+9=18，而99/7不为整数，所以题设得出的积一定为三位数，设为XYZ

由题设得出方程组：
X+Y+Z=18………………1
100X+10Y+Z=70A+7B……2
方程2－方程1×10，得：
90X-9Z=70A+7B-180
所以10A+B(也即那个两位数)=9(10X-Z+20)/7可见其必然为9的倍数

Answer 4

各个位上的数字和是18 是9的倍数 所以可以被9整除
所以乘以7后能被9整除..
但7与9互质
所以原来那个数一定是9的倍数