Question

设函数f(x)=(x+a)/(x+b),(a.b.0),根据函数单调性定义，求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其区间的单调性.

a>b>0

Answer 1

设x1<x2
f(x1)-f(x2)=(x1+a)/(x1+b)-(x2+a)/(x2+b)
=[(x1+a)(x2+b)-(x1+b)(x2+a)]/(x1+b)(x2+b)
=(bx1+ax2-ax1-bx2)/(x1+b)(x2+b)
=(b-a)(x1-x2)/(x1+b)(x2+b)
若a=b,f(x)=1(常数)
若a>b，b-a<0
当x1,x2∈(-∞,-b)
x1+b<0,x2+b<0,x1-x2<0,b-a<0
f(x1)-f(x2)=(b-a)(x1-x2)/(x1+b)(x2+b)>0
f(x)为减函数
当x1,x2∈(-b,+∞)
x1+b>0,x2+b>0,x1-x2<0,b-a<0
f(x1)-f(x2)=(b-a)(x1-x2)/(x1+b)(x2+b)>0
f(x)为减函数

若a<b
当x1,x2∈(-∞,-b)
x1+b<0,x2+b<0,x1-x2<0,b-a>0
f(x1)-f(x2)=(b-a)(x1-x2)/(x1+b)(x2+b)<0
f(x)为增函数
当x1,x2∈(-b,+∞)
x1+b>0,x2+b>0,x1-x2<0,b-a>0
f(x1)-f(x2)=(b-a)(x1-x2)/(x1+b)(x2+b)<0
f(x)为增函数