Question

一道关于等差数列和等比数列的题目

已知数列an是首项为2的等比数列，bn是等差数列，a2=b1+b2,a3=b2+b3,cn=an-bn,则c1=1,求：
（1)、数列an和bn的通项公式；
（2）、记数列cn的前n项之和为Sn,求Sn.

Answer 1

设An=2q^(n-1);Bn=B1+(n-1)*d;
因为Cn=An-Bn，C1=1，A1=2，代入可得C1=A1-B1=2-B1=1所以B1=1；则Bn=1+n-1)*d;
由A2=B1+B2 可得2q=2+d；——①式；
由A3=B2+B3可得2q^2=2+3d；——②式；
由①式可得d=2q-2代入②式可得2q^2=6q-4；即q^2-3q+2=0;即(q-2)(q-1)=0;可解得q1=2;q2=1;因为An为递增的等比数列，所以q=2;则d=2；
则An=2^n;Bn=2n;Cn=An-Bn=2^n-2n;
那么数列｛Cn｝的前n项和Sn=C1+C2+......+Cn=(2^1+2^2+...2^n)-(2*1+2*2+...+2*n)=(2(1-2^n)/(1-2))-(n*(2+2n)/2)=-2+2^(n+1)-n^2-n;