Question

高中数学函数，求极值和取值范围，数学大神进

Answer 1

f '(x)=1/x+2ax-3 。（1）f '(2)=1/2+4a-3=3/2 ，所以 a=1 ，则 f '(x)=1/x+2x-3=(2x^2-3x+1)/x=(x-1)(2x-1)/x ，列表如下： （0，1/2） 1/2 （1/2，1） 1 （1，+∞）f '(x) + 0 - 0 +f(x) 增 极大 减 极小 增所以 f(x) 有极大值点 x=1/2 ，极小值点 x=1 。（2）函数在 [1/2，2] 上是减函数，说明 f '(x)=1/x+2ax-3<0 的解包含 [1/2，2] ，由于 x 为正数，不等式化为 a<3/(2x)-1/(2x^2) ，令 g(x)=3/(2x)-1/(2x^2) (1/2<=x<=2)，因此 a<=min g(x) ，由于 g(x) 是 x 的减函数，因此 min g(x)=g(2)=3/4-1/8=5/8，所以 a<=5/8 。

Answer 2

f'(x)=1/x+2ax-3
f'(2)=1/2+4a-3=3/2, 得到a=1
f'(x)=1/x+2x-3=(2x^2-3x+1)/x=(2x-1)(x-1)/x>0
得到单调增区间是(0,1/2),(1,+oo),减区间是(1/2,1)
故有极大值点是f(1/2)=ln1/2+1/4-3/2=-ln2-5/4,极小值点是f(1)=1-3=-2
(2)f'(x)=1/x+2ax-3<0在[1/2,2]上成立,即有2a<-1/x^2+3/x
而-1/x^2+3/x=-(1/x-3/2)^2+9/4
x属于[1/2,2],则有1/2<=1/x<=2,故当1/x=3/2时上式有最大值是9/4,当1/x=1/2时有最小值是5/4
故有2a<5/4
即有a<5/8.

Answer 3

Answer 4

Answer 5

要写吗

追答

好吧

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