Question

概率论 关于方差和数学期望的基本性质的一个问题

我们知道对于任意常数C有E（C）=C
那么如果对于任意常数XY是否有E（XY）=XY=E（X）E（Y）？
如果是的话就有以下问题了，对于任意两个随机变量X和Y有
D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2E｛E（XY）-E（X）E（Y）｝，特别的，当X和Y独立时有D（X+Y）=D（X）+D（Y），如果上述成立的话独立性不久混淆了吗？
我知道之前说的X和Y是常数，而现在说的X和Y是变量，但是证明D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2E｛E（XY）-E（X）E（Y）｝的时候就把X和Y当作了常数来看待，所以有X=E（X），Y=E（Y），才有了XY=E（XY）才能得到上述结论，我纠结的地方就是在于这里，为什么XY不能等价成E（X）E（Y），反正X和Y不都是常数么，为什么不能分开分别进行变化？

Answer 1

我觉得楼主概念有错误，两个随机变量之和的方差公式是D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2E｛E（XY）-E（X）E（Y）｝是没错的，或者确切地说，是D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2｛E（XY）-E（X）E（Y）｝，大括号就是随机变量（不一定是常数）的协方差cov（X,Y）。而且，楼主说当两个随机变量相互独立时，D（X+Y）=D（X）+D（Y）也是完全正确的。但是，接下来逻辑就有错误了，两个随机变量独立时的公式D（X+Y）=D（X）+D（Y）是由原始公式D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2E｛E（XY）-E（X）E（Y）｝得来的，但是一定是因为“把X和Y看成常数来对待”得到的吗？这是关键。实际上，当两个随机变量X和Y独立时，就有公式E（XY）= E（X）E（Y），从而有“当随机变量X和Y独立时，D（X+Y）=D（X）+D（Y）”这样一个结论。不知解答是否令楼主满意？

追问

我用红笔标出的部分就是我的疑问所在X=E（X）是因为把X当成了常数来处理，同样的，XY变成E（XY）也是这个原因，那么对于常数XY，我们可不可以把它变成E（X）E（Y）？因为XY分别为常数

追答

请楼主仔细看证明过程（就是你用红色粗线标记的两行），第一个等号后边大括号中的几项外面是有“E”的，也就是求期望运算。但是第二个等号后边大括号外面已经没有求期望运算“E”了，这时候已经将求期望运算作用到每一项了。而不是你理解的 E(X)=X, E(Y)=Y 以及E(XY)=XY。
下面回答你的第二个小疑问，就是“那么对于常数XY，我们可不可以把它变成E（X）E（Y）？”。答案是肯定的，这时候对于常数求期望等于常数本身，所以E(XY)=XY=x*Y=E(X)*E(Y) （因为均为常数，所以此时满足 E(X)=X, E(Y)=Y 以及E(XY)=XY）。

Answer 2

提问者对随机变量的认识有误区。只要E（X)存在，X=E（X）就是一个事件。这和X是常数（意思是X服从单点分布）不是一回事儿。