Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点A（0,3），与x轴分别交于B（1,0）、C（5,0）两点

（1）求此抛物线的解析式
（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式
（3）若一个动点P自OA的中点出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A。求使点P运动的总路径最短的点E、F的坐标，并求出这个最短路径的长

Answer 1

答：

1）

抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点A（0,3），与x轴分别交于B（1,0）、C（5,0）两点

设抛物线y=a(x-1)(x-5)，点A代入得：
5a=3

解得：a=3/5

所以：抛物线为y=(3/5)(x+1)(x-5)

2）

点D是OA=3的三等分点，则点D为（0,1）或者（0,2）

根据截距式可知道DC直线为：
x/5+y=1或者x/5+y/2=1

所以：y=-x/5+1或者y=-2x/5+2

3）

如图所示，作点P关于x轴的对称点P1(0，-3/2)

作点A关于抛物线对称轴x=3的对称点A1(6,3)

连接A1P1交x轴于点E、交对称轴x=3于点F

直线A1P1为：y-3=[(-3/2-3)/(0-6)]*(x-6)

y=3(x-2)/4

所以：点E为（2,0），点F为（3，3/4)

最短路径的长=A1P1=√[(-3/2-3)^2+(0-6)^2]=15/2

所以：最短路径长为15/2

Answer 2

1) 带入A,B,C三点联立抛物线方程，得到a=3/5 b=-18/5 c=3
2) D为(0,1)或者(0,2), 直线DC：y=ax+b还经过点C(5,0)， 联立求解可得直线方程y=-1/5x+1或者y=-2/5x+2
3) 已知OA中点为P(0,1.5)，设E坐标为(x,0), F坐标为(3,y)，此时路径长度为PE+EF+FA
PE= (x^2+1.5^2)^0.5，EF=((3-x)^2+y^2)^(0.5)，FA=(9+(y-3)^2)^(0.5)
此时变为一极值问题，令目标函数PE+EF+FA对x,y偏导数为0，可得x=2,y=3/4，此时最短路径为7.5

Answer 3

Answer 4