Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC,AB＝BC＝½PA,点O,D分别是AC,PC的中点，OP⊥

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC,AB＝BC＝½PA,点O,D分别是AC,PC的中点，OP⊥底面ABC

Answer 1

（Ⅰ）∵O、D分别为AC、PC的中点，

∴OD∥PA

又PA平面PAB，

∴OD∥平面PAB

（Ⅱ）∵AB⊥BC，OA=OC

∴OA=OB=OC

又∴OP⊥平面ABC，

∴PA=PB=PC。

取BC中点E，连结PE，则BC⊥平面POE。

作OF⊥PE于F，连结DF，则OF⊥平面PBC。∠ODF是OD与平面PBC所成的角。

又OD∥PA，

∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF。

在Rt△ODF中，

sin∠ODF=.

∴PA与平面PBC所成的角为arcsin。

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，OF⊥平面PBC，

∴F是O在平面PBC内的射影。

∵D是PC的中点

若点F是△PBC的重心。

则B、F、D三点共线，

∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD。

∵OB⊥PC，

∴PC⊥BD，

∴PB=BC，即k=1

反之，当k=1时，三棱锥O-PBC为正三棱锥，

∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心

方法二：

∵OP⊥平面ABC，OA=OC，AB=BC，

∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP。

以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz（如图），

设AB=a，则A（a,0,0），B（0，a，0），C（－a，0，0）。

设OP=h，则P（0，0，h）。

（Ⅰ）∵D为PC的中点，

∴＝（－，0，）

又，

∴
∴∥。

∴OD∥平面PAB

（Ⅱ）∵k=，即PA=2a

∴h=,

∴=(),

可求得平面PBC的法向量=（1，－1，－），

∴cos<,>==
设PA与平面PBC所成的角为θ

则sinθ=|cos<,>|=,

∴PA与平面PBC所成的角为arcsin
（Ⅲ）△PBC的重心G（－a，a，h），

∴=（－a，a，h）

∵OG⊥平面PBC，

∴⊥
又=（0，a，－h）

∴·=a2－h2=0

∴h=a.

∴PA==a，即k=1.

反之，当k=1时，三棱锥O-PBC为正三棱锥,

∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心。

Answer 2

利用中位线定理做第一问，建立空间坐标系做第二问

追问

可以给我详细的过程吗？

Answer 3

涓涓涓涓涓涓涓涓涓涓涓涓涓涓涓涓涓涓涓涓涓涓