Question

急急急！一道形式复杂的微积分问题求解（高等数学、含系数、参数、分号、指数）（公式见图）

一道求积分题，我不会是因为既有m（常数）又有x，而且还是5/6次方，如果是平方或者根号我就可以做了。

注：三个希腊字母是系数，m是常数参数，x是自变量。

解答后，请做成图片，或word版或手写再照片都可以，但是要清楚。多谢！！！
我没试过级数展开法，如果把它展开，是不是能做？

Answer 1

这个题目从计算机自动积分的结果来看, 结果本身很繁琐且无法化简. 从技术上讲, 先全除以mx使得变量出现的次数尽量少, 然后把分式做标准化的分部分拆, 然后对每一个部分分式积分, 最后取和.
结果的复杂度显然是由指数5/6和参数alpha, beta, gamma的一般化造成的. 根据经验, 这种问题没必要纠结手工怎么积, 也没必要纠结巧妙的方法什么的. 因为不论怎么积都逃不掉极其复杂的最终结果.

追问

如果数值法解，有没有解？

追答

对于参数表达的alpha, beta, gamma, m, 用计算机只需一两秒，如果换成数一下子也就出来了。所谓数值法，术语指我们允许一定的误差，在这个题目中，没什么能用数值法的地方，因为5/6近似不了，大分式本身是标准的等着被分部分式化的结构，系数2什么的更不用说了。

追问

结果是什么，是不是很整？

追答

不整啊。

追问

你发个整个结果的图片给我看一下吧。
还有，再发一个忽略掉二阶小以后的解。
多谢。

追答

结果几十行, 其中含有高次方程的根的形式表达. 忽略掉二阶小需要很多时间. 即使是科研需要, 这种结果我觉得也不容易被关注.

追问

原题是定积分

，

下限x0是初始值，x0和beta、m有关，上限x是不定量，随y取值不同而变化。

原题是求当y取定值时，参数alpha, beta, gamma, m取不同值时对x的影响，

即求两个积分上限的比x1/x2。如果不对它积分，如何才能求出这个比值？

追答

不好意思，我觉得您最好把原题目清晰叙述出来大家一起讨论。我个人没看懂您说的新情况，或许别人能明白可以帮到您。

追问

很是感谢！
原题是物理方面的，参数a、b、c、m都是不同的场量变量，x是强度，y是距离，因为各向同性，任意方向的物理量都遵循微分关系（积分号内的部分），但是当方向不同是，场量参数a、b、c、m不同，所以为了研究这些参数对强度的影响，我的方法是取同样距离的y，求x的比值，就能定出a、b、c、m对强度的影响。

追答

嗯。您的方法一定是深思熟虑的，按照您的思路接下去怎样计算我没想法了。针对最终目标，从纯数学角度讲，如果能用变量们把x表示出来就好了，现在x是隐函数，如果没有特别的技术技巧（我觉得没有），很难求个有价值的结果出来；可以先定性地考察各个变量单独变化时x的变化；如果变量们只取有限个可能值，那么问题可以一个个单独做。

追问

如果用程序算,可不可以?
取y为一个常数，取a、b、c、m为已知确定值，仅x待求，但其实也不用求出来，只需要求出x1/x2。

如果可以求，而且结果简单，还是可以用的。

追答

带参数是算不出来的。

追问

还是要变换方程，这么做没意义

Answer 2

syms x y m a b c

I1=int((a*(m*x)^(5/6)-b*(m+2*x)^(5/6))/(a*(m*x)^(5/6)-c*(m+2*x)^(5/6)),x);
simple(I1)

ans =

int((a*(m*x)^(5/6) - b*(m + 2*x)^(5/6))/(a*(m*x)^(5/6) - c*(m + 2*x)^(5/6)), x)

不是所有的不定积分都能积出来，非常怀疑这个积分积不出来。

追问

汗，不用编程，只是一道数学问题，要求解析解。编程我就直接用软件了。

追答

此题无解析解。别耽误功夫了。

追问

如果数值法解，有没有解？

追答

可尝试用级数之类做一下逼近。
实际用时用的是定积分，那时“着”就多了。
说一下，此题我不往下试啊。

追问

原题是定积分的，积分上下限就是x1，x2，为了提问简便换成了不定积分。
这题我最开始意识到是无精确解的，但积分形式比较整，当然如果有解最好了。
下面一部是为了求一个比值，忽略二阶无穷小以后，近似解也足够了。
级数展开感觉可以解决m和x的关系，但是5/6怎么办。
你用程序算出来的解形式是什么？发一个图片我看一下。

追答

% 程序
syms x y m a b c

I1=int((a*(m*x)^(5/6)-b*(m+2*x)^(5/6))/(a*(m*x)^(5/6)-c*(m+2*x)^(5/6)),x);
simple(I1)

%解啊
ans =

int((a*(m*x)^(5/6) - b*(m + 2*x)^(5/6))/(a*(m*x)^(5/6) - c*(m + 2*x)^(5/6)), x)

追问

要解出来的格式啊，不是程序，我对一下答案

追答

MATLAB解不出解析解（因为没有），所以把原题还给你了。

没有形式解。
懂没？？？？

噢，懂了。

Answer 3

题主试试把 (mx)^(5/6)=u,(m+2x)^(5/6)=v使用二重积分来做试试.我现在不方便详细计算,刚才在paint上算了算,貌似可解诶,而且如果有x的上下限就方便多了呀.

追问

x上下限就是x1到x2，就是初值是任意一正数，x2比x1大一些。
还有就是你在pain上算出来的结果是什么样的啊？

Answer 4

目测上下同时除以m+2x的5/6方
然后就好做了。。。

追问

汗，没目测正确。我是把它都成了m+2x的5/6方后，化简成这个方程的，你又给整回去了。