Question

如图在RT△ABC中，∠C= 90°，以AC为边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点,连接DE。见问题补充。

⑴证明：DE∥CB;
⑵探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形

Answer 1

AD 与BC延长 相交于点F

因为角ACB为直角，所以 角ACF 也为直角

角DAC为60度， 所以 角AFC为30度
因为解DCA=60度，所以 角DCF为30度

所以 角AFC=角DCF 所以 DC= DF
因为DC=DA 所以 AD= DF
所以 AE：AB = AD： AF
因为角FAB = 角DAE

所以，三角形ADE 相似于 三角形 AFB

所以 角AED=角ABF
所以 DE与CF平行 = DE与CB平行

已知角DCB=角DCA (60度)+角ACB (90) =150度

所以，当角B=30度时，四边形DCBE是平行四边行

当角B=30度时 AB=AC*2 CB的长度=AB的平方-AC的平方

设AC=X，则AB=X*2 CB的长度=开方{(X*2)平方-X平方}=开方[3*X平方] = 根号3*X

当CB是AC的根号3倍时，四边形DCBE是平行四边形