Question

-1＜x＜0，f（x）=x(1+x)，用三种方法求值

Answer 1

方法一(基本不等式法):
-1<x<0→-x>0且x+1>0.
∴f(x)＝x(1+x)
＝-(-x)·(1+x)
≥-[(-x+1+x)/2]²
＝-1/4.
故所求最小值为：-1/4.

方法二(配方法):
f(x)＝x(1+x)
＝(x+1/2)²-1/4.
∴x＝-1/2∈(-1,0)时，
所求最小值为：-1/4.

方法三(判别式法):
f(x)＝t＝x(x+1)
→x²+x-t＝0
判别式不小于0，
∴1²-4·(-t)·1≥0
解得，t≥-1/4.
而t＝-1/4时，x＝-1/2∈(-1，0）
故所求最小值为：-1/4.

方法四(微分法)
f(x)＝x(1+x)
f'(x)＝1+2x.
x∈(-1,-1/2)时，f'(x)<0,f(x)递减；
x∈(-1/2,0)时，f'(x)>0,f(x)递增.
故函数最小值为：
f(x)|min＝f(-1/2)＝(-1/2)·(1-1/2)＝-1/4。