Question

圆x^2+y^2=4与y轴的两个交点分别为A,B，以A、B为焦点，坐标轴微对称轴的双曲线与圆在y轴

左方的交点分别为C，D，当梯形ABCD的周长最大时，求此双曲线的方程。C在第二象限，D在第三象限。

Answer 1

解析:设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),C(x0,y0)(x0<0,y0>0),|BC|=t(0).
连结AC,则∠ACB=90°.

作CE⊥AB于E,则有|BC|2=|BE|·|AB|,
∴t2=(2-y0)×4,即y0=2-.
∴梯形ABCD的周长l=4+2t+2y0.
即l=-t2+2t+8=-(t-2)2+10.
当t=2时,l最大.
此时|BC|=2,|AC|=2.
又C在双曲线的上支上,且B、A分别为上、下两焦点,
∴|AC|-|BC|=2a,即2a=2-2.
∴a=3-1,即a2=4-2.
∴b2=c2-a2=2.
∴所求双曲线方程为-=1.

Answer 2

同样求解.