Question

求函数f(x,y)=x^3+y^3-3xy+1的极值，急用，谢谢。要过程

Answer 1

求函数f(x,y)=x³+y³-3xy+1的极值
解：令∂f/∂x=3x²-3y=0，得x²-y=0..........(1)
∂f/∂y=3y²-3x=0，得y²-x=0..........(2)
由(1)得y=x²，代入(2)式得x⁴-x=x(x³-1)=x(x-1)(x²+x+1)=0，故得x₁=0，x₂=1；
相应地，y₁=0，y₂=1。即得驻点M(0，0)；N(1，1).
在点M求得A=∂²f/∂x²=0，B=∂²f/∂x∂y=-3，C=∂²f/∂y²=0；B²-AC=9>0，故M不是极值点。
在点N求得A=∂²f/∂x²=6>0，B=∂²f/∂x∂y=-3，C=∂²f/∂y²=6；B²-AC=9-36=-27<0，故N是极小点，
极小值=f(1，1)=1+1-3+1=0

Answer 2

u(x,y)=x^3-3xy^2
u(x,y)对x的偏导数为 3x^2-3y^2
u(x,y)对y的偏导数为 -6xy
需要v(x,y) 使得
v(x,y)对y的偏导数为 3x^2-3y^2，对x偏导数为 6xy
由3x^2-3y^2对y积分得 v(x,y)=3x^2y-y^3+f(x)
v(x,y)对x偏导数为 6xy+f'(x)=6xy令f(x)=0即可
V(x,y)=3x^2y-y^3
解析函数为 U(x,y)+iV(x,y)

追问

这是极值？？好像跟题目不一样啊

Answer 3