Question

经过点M（2，2）作直线L交双曲线x^2-y^2/4=1于A,B两点，且M为AB中点

(1)求直线L的方程 （2）求线段AB的长

Answer 1

解：(1)由于：直线L交双曲线于A,B两点则设A(x1,y1)B(x2,y2)设直线L斜率为k,由于L过M(2,2)则直线L的方程：y-2=k(x-2)联立x^2-y^2/4=1得：4x^2-[k(x-2)+2]^2=4(4-k^2)x^2+(4k^2-4k)x-8=0则有：x1+x2=(4k^2-4k)/(k^2-4),x1x2=8/(k^2-4)判别式=[4k^2-4k]^2-4(4-k^2)(-8)>0由于：M(2,2)为AB中点则有：(x1+x2)/2=2则：(2k^2-2k)/(k^2-4)=2解得：k=4代入判别式>0，知k=4符合题意则直线L的方程：y=4x-6(2)由(1)得：x1+x2=4,x1x2=2/3则线段AB=√[1+k^2]*|x1-x2|=√[1+4^2]*√[(x1+x2)^2-4x1x2]=√17*√[4^2-4*2/3]=(2/3)√510