Question

如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，√3)，以点C为顶点的抛物线恰好经过x轴上A、B两点

如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，√3)，以点C为顶点的抛物线恰好经过x轴上A、B两点
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位?

Answer 1

（1）因为 菱形ABCD
所以 AD=AB=BC
又因为 以点C为顶点的抛物线恰好经过x轴上A、B两点
所以 AC与BC关于CE对称
AC=AB=BC 三角形ABC为等边三角形，角CBE=60度，CE=OD=根号3
BE=1，BC=2
易得 OA=EB=AE=1
所以 OB=3
A(1,0)，B(3,0），C(2，根号3）

（2)将A,B,C三点代入抛物线中，得
a+b+c=0 a=-根号3
9a+3b+c=0 → b=4根号3
4a+2b+c=根号3 c=3根号3
所以 y=-根号3*（x-2)^2+根号3

（3)因为是向上平移的，所以开口方向和大小形态均不变，与Y轴交点变了
设抛物线的解析式为y=-根号3*（x-2)^2+K,将D代入，得
K=5根号3
所以 平移后的抛物线的解析式为y=-根号3*（x-2)^2+5根号3
平移了4根号3